微分几何

非欧几何

包含双曲几何（又叫罗氏几何）和球面几何。双曲几何中，过直线外一点，至少有两条平行线与原直线平行，其余四条公设和欧式几何相同。

球面几何

第五公设

球面中不存在平行线，过直线外一点不能作出任何一条平行直线。

直线

球面上的直线是一个大圆，大圆是由一个过球心的平面截球体得到的。

球面上的直线一定相交。

证明：设两个大圆 $C_1$ 和 $C_2$ 分别位于两个平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 上。由大圆的定义有球心 $O \subset \alpha$ 和 $O \subset \beta$. 设 $\alpha \cap \beta = l$，则有 $O \in l$，设 $l$ 与球面相交于 $A$ 和 $B$ 点，则有 $C_1$ 和 $C_2$ 相交于 $A$ 和 $B$ 点，$AB$ 是球的一条直径。

球面几何不满足欧氏几何的公设一

两点确定一直线在球面上不满足。当 $AB$ 是一条直径时。

欧式几何的第五公设等价于三角形内角和180